Apache Commons Statistics 1.3 统计计算示例与最佳实践详解

详解 Apache Commons Statistics 1.3 inference 与 interval 模块的假设检验与置信区间实战，覆盖 T 检验、卡方检验、二项检验、G 检验、五种二项置信区间与正态区间，附参数顺序等实测坑与最佳实践。

Apache Commons StatisticsApache Commons Statistics2026/10/15

Apache Commons Statistics 1.3 统计计算示例与最佳实践详解

目标：掌握 Apache Commons Statistics 1.3 中 inference（假设检验）与 interval（置信区间）两个模块的完整用法——T 检验、卡方检验、二项检验、G 检验与五种二项置信区间，并用实测数据总结参数顺序、检验选型与浮点输出等最佳实践。

假设检验回答「差异是否显著」，置信区间回答「参数真实值的可能范围」，两者构成统计推断的两条腿。Commons Statistics 1.3 的 inference 模块提供 TTest、ChiSquareTest、BinomialTest、GTest 等检验类，1.2 起新增的 interval 模块提供五种二项比例置信区间与正态均值/方差区间。本文用一个可运行的演示工程逐个实测，全部 p 值与区间端点均为真实运行输出。描述统计与排名的内容见《Apache Commons Statistics 1.3 常用 API 与统计工具详解》。

一、环境信息

  • 操作系统：Ubuntu 24.04.5 LTS（x86_64）
  • JDK：OpenJDK 17.0.20.1，Eclipse Temurin（Temurin-17.0.20.1+1）
  • 构建工具：Apache Maven 3.9.16
  • 组件版本：commons-statistics-inference 1.3、commons-statistics-interval 1.3（官方当前最新稳定版）
  • Maven 坐标：org.apache.commons:commons-statistics-inference:1.3、org.apache.commons:commons-statistics-interval:1.3
  • 工作目录：/work/stat-demo

环境确认（实时回显）：

java -version 2>&1 && mvn -version | head -4

openjdk version "17.0.20.1" 2026-08-18
OpenJDK Runtime Environment Temurin-17.0.20.1+1 (build 17.0.20.1+1)
OpenJDK 64-Bit Server VM Temurin-17.0.20.1+1 (build 17.0.20.1+1, mixed mode, sharing)
Apache Maven 3.9.16 (2bdd9fddda4b155ebf8000e807eb73fd829a51d5)
Maven home: /usr/share/maven
Java version: 17.0.20.1, vendor: Eclipse Adoptium, runtime: /opt/java/openjdk
Default locale: en_US, platform encoding: UTF-8

💡 技术拓展：inference 模块的依赖关系（依赖树实测）——inference 传递依赖 distribution 1.3（概率分布，用于计算检验统计量的零分布），distribution 又依赖 rng-sampling 1.6 与 numbers-rootfinder 1.3；因此引入 inference 后这些 jar 自动就位，无需手工管理。 本文所用：inference 的 TTest/ChiSquareTest/BinomialTest/GTest 四个检验类 + interval 的两个置信区间枚举。

二、API 总览

本节给出两个模块的类速查表，后续章节逐类实测。

inference 模块（包 org.apache.commons.statistics.inference）核心类：

类职责关键方法详解章节
TTest单样本/双样本/配对 t 检验withMu、with、test、pairedTest4.1 至 4.3
ChiSquareTest拟合优度/列联表卡方检验test4.4
BinomialTest二项检验test（参数顺序 n, k, p）4.5
GTest似然比检验（G 检验）test4.6
AlternativeHypothesis（枚举）备择假设TWO_SIDED/GREATER_THAN/LESS_THAN4.2
DataDispersion（枚举）双样本方差假设HOMOSCEDASTIC/HETEROSCEDASTIC4.2

interval 模块（包 org.apache.commons.statistics.interval）核心类：

类职责关键方法详解章节
BinomialConfidenceInterval（枚举）二项比例区间，5 种方法fromErrorRate(n, k, alpha)5.1
NormalConfidenceInterval（枚举）正态均值/方差区间fromErrorRate(mean, variance, size, alpha)5.2
Interval区间结果对象getLowerBound、getUpperBound5.1

所有检验的返回类型实现 SignificanceResult 接口，统一提供 getStatistic()（统计量）、getPValue()（p 值）与 reject(alpha)（在显著性水平 alpha 下是否拒绝零假设）；TTest 的结果还提供 getDegreesOfFreedom()（自由度）。

三、前置条件：演示工程与主类

本节给出贯穿全文的演示工程。pom.xml 关键依赖（完整工程 /work/stat-demo）：

  <dependencies>
    <dependency>
      <groupId>org.apache.commons</groupId>
      <artifactId>commons-statistics-inference</artifactId>
      <version>1.3</version>
    </dependency>
    <dependency>
      <groupId>org.apache.commons</groupId>
      <artifactId>commons-statistics-interval</artifactId>
      <version>1.3</version>
    </dependency>
  </dependencies>

编译与运行方式：

cd /work/stat-demo && mvn -q -B package
java -Dfile.encoding=UTF-8 -cp target/statistics-demo.jar InferenceDemo
java -Dfile.encoding=UTF-8 -cp target/statistics-demo.jar IntervalDemo

InferenceDemo.java 主类全文（文件路径 /work/stat-demo/src/main/java/InferenceDemo.java）：

import org.apache.commons.statistics.inference.AlternativeHypothesis;
import org.apache.commons.statistics.inference.BinomialTest;
import org.apache.commons.statistics.inference.ChiSquareTest;
import org.apache.commons.statistics.inference.DataDispersion;
import org.apache.commons.statistics.inference.GTest;
import org.apache.commons.statistics.inference.SignificanceResult;
import org.apache.commons.statistics.inference.TTest;

public class InferenceDemo {

    public static void main(String[] args) {
        oneSampleT();
        twoSampleT();
        pairedT();
        chiSquareGoodness();
        chiSquareContingency();
        binomial();
        gtest();
    }

    static void oneSampleT() {
        System.out.println("== [1] TTest 单样本 t 检验（mu=5，双侧） ==");
        double[] data = {9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3};
        TTest.Result r = TTest.withDefaults().withMu(5).test(data);
        System.out.println("data = [9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3], mu = 5");
        System.out.println("t 统计量   = " + r.getStatistic());
        System.out.println("自由度     = " + r.getDegreesOfFreedom());
        System.out.println("p 值(双侧) = " + r.getPValue());
        System.out.println("reject(0.05) = " + r.reject(0.05));
    }

    static void twoSampleT() {
        System.out.println("== [2] TTest 独立双样本（默认异方差 Welch / 同方差 pooled） ==");
        double[] a = {2, 4, 6, 8, 10};
        double[] b = {1, 3, 5, 7, 9};
        TTest.Result welch = TTest.withDefaults().test(a, b);
        System.out.println("HETEROSCEDASTIC(默认): t=" + welch.getStatistic()
                + " df=" + welch.getDegreesOfFreedom() + " p=" + welch.getPValue());
        TTest.Result pooled = TTest.withDefaults()
                .with(DataDispersion.HOMOSCEDASTIC).test(a, b);
        System.out.println("HOMOSCEDASTIC        : t=" + pooled.getStatistic()
                + " df=" + pooled.getDegreesOfFreedom() + " p=" + pooled.getPValue());
        TTest.Result greater = TTest.withDefaults()
                .with(AlternativeHypothesis.GREATER_THAN).test(a, b);
        System.out.println("GREATER_THAN 单侧     : p=" + greater.getPValue()
                + " reject(0.05)=" + greater.reject(0.05));
    }

    static void pairedT() {
        System.out.println("== [3] TTest 配对 t 检验 ==");
        double[] before = {88.5, 90.2, 87.1, 91.4, 85.6, 89.8, 90.7, 86.9};
        double[] after = {90.4, 91.9, 88.3, 93.0, 87.8, 91.5, 92.6, 88.1};
        TTest.Result r = TTest.withDefaults().pairedTest(before, after);
        System.out.println("paired t 统计量 = " + r.getStatistic());
        System.out.println("自由度          = " + r.getDegreesOfFreedom());
        System.out.println("p 值(双侧)      = " + r.getPValue());
        System.out.println("reject(0.05)    = " + r.reject(0.05));
    }

    static void chiSquareGoodness() {
        System.out.println("== [4] ChiSquareTest 拟合优度检验 ==");
        double[] expected = {50, 30, 20};
        long[] observed = {48, 35, 17};
        SignificanceResult r = ChiSquareTest.withDefaults().test(expected, observed);
        System.out.println("expected = [50, 30, 20], observed = [48, 35, 17]");
        System.out.println("卡方统计量 = " + r.getStatistic());
        System.out.println("p 值      = " + r.getPValue());
        System.out.println("reject(0.05) = " + r.reject(0.05));
    }

    static void chiSquareContingency() {
        System.out.println("== [5] ChiSquareTest 列联表独立性检验（2x2） ==");
        long[][] table = {{30, 20}, {22, 28}};
        SignificanceResult r = ChiSquareTest.withDefaults().test(table);
        System.out.println("table = [[30, 20], [22, 28]]");
        System.out.println("卡方统计量 = " + r.getStatistic());
        System.out.println("p 值      = " + r.getPValue());
        System.out.println("reject(0.05) = " + r.reject(0.05));
    }

    static void binomial() {
        System.out.println("== [6] BinomialTest 二项检验（掷硬币 100 次成功 55 次，参数顺序 n, k, p） ==");
        SignificanceResult two = BinomialTest.withDefaults().test(100, 55, 0.5);
        System.out.println("双侧: 统计量=" + two.getStatistic() + " p=" + two.getPValue()
                + " reject(0.05)=" + two.reject(0.05));
        SignificanceResult greater = BinomialTest.withDefaults()
                .with(AlternativeHypothesis.GREATER_THAN).test(100, 55, 0.5);
        System.out.println("GREATER_THAN 单侧: p=" + greater.getPValue()
                + " reject(0.05)=" + greater.reject(0.05));
    }

    static void gtest() {
        System.out.println("== [7] GTest 似然比检验（G 检验） ==");
        double[] expected = {50, 30, 20};
        long[] observed = {48, 35, 17};
        SignificanceResult r = GTest.withDefaults().test(expected, observed);
        System.out.println("expected = [50, 30, 20], observed = [48, 35, 17]");
        System.out.println("G 统计量  = " + r.getStatistic());
        System.out.println("p 值     = " + r.getPValue());
        System.out.println("reject(0.05) = " + r.reject(0.05));
    }
}

IntervalDemo.java 主类全文（文件路径 /work/stat-demo/src/main/java/IntervalDemo.java）：

import org.apache.commons.statistics.interval.BinomialConfidenceInterval;
import org.apache.commons.statistics.interval.Interval;
import org.apache.commons.statistics.interval.NormalConfidenceInterval;

public class IntervalDemo {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("== [1] 二项比例置信区间（n=100, k=55, alpha=0.05） ==");
        for (BinomialConfidenceInterval method : BinomialConfidenceInterval.values()) {
            Interval iv = method.fromErrorRate(100, 55, 0.05);
            System.out.printf("%-22s = [%.6f, %.6f]%n", method, iv.getLowerBound(), iv.getUpperBound());
        }
        System.out.println("== [2] 正态总体置信区间（mean=7, variance=11.555555555555555, n=10, alpha=0.05，第 2 参数为方差） ==");
        Interval mean = NormalConfidenceInterval.MEAN.fromErrorRate(7.0, 11.555555555555555, 10, 0.05);
        System.out.printf("MEAN     = [%.6f, %.6f]%n", mean.getLowerBound(), mean.getUpperBound());
        Interval var = NormalConfidenceInterval.VARIANCE.fromErrorRate(7.0, 11.555555555555555, 10, 0.05);
        System.out.printf("VARIANCE = [%.6f, %.6f]%n", var.getLowerBound(), var.getUpperBound());
    }
}

完整运行输出（实测，分节拆解见第四、五章）：

== [1] TTest 单样本 t 检验（mu=5，双侧） ==
data = [9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3], mu = 5
t 统计量   = 1.860521018838127
自由度     = 9.0
p 值(双侧) = 0.09573390947125937
reject(0.05) = false
== [2] TTest 独立双样本（默认异方差 Welch / 同方差 pooled） ==
HETEROSCEDASTIC(默认): t=0.5 df=8.0 p=0.6305360755569764
HOMOSCEDASTIC        : t=0.5 df=8.0 p=0.6305360755569764
GREATER_THAN 单侧     : p=0.3152680377784882 reject(0.05)=false
== [3] TTest 配对 t 检验 ==
paired t 统计量 = -13.717203674463095
自由度          = 7.0
p 值(双侧)      = 2.579556955451804E-6
reject(0.05)    = true
== [4] ChiSquareTest 拟合优度检验 ==
expected = [50, 30, 20], observed = [48, 35, 17]
卡方统计量 = 1.3633333333333333
p 值      = 0.5057733339556132
reject(0.05) = false
== [5] ChiSquareTest 列联表独立性检验（2x2） ==
table = [[30, 20], [22, 28]]
卡方统计量 = 2.564102564102564
p 值      = 0.10931457620866637
reject(0.05) = false
== [6] BinomialTest 二项检验（掷硬币 100 次成功 55 次，参数顺序 n, k, p） ==
双侧: 统计量=0.55 p=0.368201617326696 reject(0.05)=false
GREATER_THAN 单侧: p=0.184100808663348 reject(0.05)=false
== [7] GTest 似然比检验（G 检验） ==
expected = [50, 30, 20], observed = [48, 35, 17]
G 统计量  = 1.345992511039241
p 值     = 0.510177662787492
reject(0.05) = false

== [1] 二项比例置信区间（n=100, k=55, alpha=0.05） ==
NORMAL_APPROXIMATION   = [0.452493, 0.647507]
WILSON_SCORE           = [0.452446, 0.643855]
JEFFREYS               = [0.452229, 0.644923]
CLOPPER_PEARSON        = [0.447280, 0.649680]
AGRESTI_COULL          = [0.452429, 0.643872]
== [2] 正态总体置信区间（mean=7, variance=11.555555555555555, n=10, alpha=0.05，第 2 参数为方差） ==
MEAN     = [4.568254, 9.431746]
VARIANCE = [5.467133, 38.512963]

四、假设检验示例详解

4.1 TTest 单样本 t 检验

单样本 t 检验回答「样本均值是否等于某给定值 mu」。实测（对应主类 [1] 节）：数据 [9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3]（均值 7.0、样本标准差 3.39934634239519）对 mu=5 检验，输出 t 统计量 1.860521018838127、自由度 9.0、双侧 p 值 0.09573390947125937、reject(0.05) 为 false。手算核对：t = (7 − 5) / (3.39934634239519/√10) = 2 / 1.0749 ≈ 1.8606，与库输出一致。结论：在 0.05 水平下不能拒绝「均值为 5」的零假设（p=0.096 未过阈值）。

API 契约：TTest.withDefaults() 创建默认配置（双侧、mu=0），withMu(5) 设置零假设均值，test(double[]) 执行。p 值小于 alpha 才拒绝。

4.2 TTest 独立双样本：Welch 与 pooled

独立双样本比较两组均值。实测（对应主类 [2] 节）：{2, 4, 6, 8, 10} 对 {1, 3, 5, 7, 9}，默认 HETEROSCEDASTIC（Welch 异方差）与显式 HOMOSCEDASTIC（同方差 pooled）输出完全相同——t=0.5、df=8.0、p=0.6305360755569764。这不是巧合：本例两组方差相等（均为 10），两种方法退化为同一结果。方差不等时两者会显著分化，Welch 自由度会变成非整数（Satterthwaite 近似）。单侧检验 with(AlternativeHypothesis.GREATER_THAN) 实测 p=0.3152680377784882，恰为双侧 0.6305360755569764 的一半，reject(0.05) 为 false。

💡 技术拓展：三种 t 检验形态与两种方差假设——

形态API零假设
单样本test(double[]) + withMu(mu)总体均值 = mu
独立双样本test(a, b)两总体均值相等
配对pairedTest(before, after)配对差值均值为 0

方差假设：HETEROSCEDASTIC（默认，Welch，不要求方差相等）对 HOMOSCEDASTIC（pooled，要求方差齐性）。本文所用：默认 HETEROSCEDASTIC，仅在有明确方差齐性证据时改 pooled。

4.3 TTest 配对 t 检验

配对设计（同一对象前后测量）要用 pairedTest 而非独立双样本——它对差值序列做单样本检验，消除个体间差异。实测（对应主类 [3] 节）：8 名受试者的 before/after 数据，t 统计量 -13.717203674463095、自由度 7.0、双侧 p 值 2.579556955451804E-6（约 2.6 × 10⁻⁶），reject(0.05) 为 true——处理后分数显著升高（after 系统性高于 before，t 为负表示 before−after 的差值均值为负）。

要点提示：同样的两列数据若误用独立双样本检验，会丢失配对信息导致检验力大幅下降；配对场景 pairedTest 是唯一正确入口。

4.4 ChiSquareTest：拟合优度与列联表

卡方检验比较观测频数与期望频数的偏离。实测拟合优度（对应主类 [4] 节）：期望 [50, 30, 20]、观测 [48, 35, 17]，卡方统计量 1.3633333333333333、p 值 0.5057733339556132、不拒绝——手算核对：(48−50)²/50 + (35−30)²/30 + (17−20)²/20 = 0.08 + 0.8333 + 0.45 = 1.3633，完全一致。实测 2×2 列联表独立性检验（对应主类 [5] 节）：[[30, 20], [22, 28]]，卡方统计量 2.564102564102564、p 值 0.10931457620866637、不拒绝——手算核对：期望矩阵 [[26, 24], [26, 24]]，四格贡献 0.6154 + 0.6667 + 0.6154 + 0.6667 = 2.5641，一致。

要点提示：test(double[] expected, long[] observed) 的期望传比例或频数均可（库内部按总量归一），观测必须是 long 频数；列联表入口 test(long[][]) 自动作 Pearson 卡方并按 (行−1)×(列−1) 计算自由度。

4.5 BinomialTest：参数顺序是实测坑

二项检验判断「k 次成功 / n 次试验」是否符合成功概率 p 的二项分布。实测正确的调用方式（对应主类 [6] 节）：掷硬币 100 次成功 55 次，test(100, 55, 0.5) 双侧 p=0.368201617326696、统计量 0.55（即 k/n）、reject(0.05) 为 false；GREATER_THAN 单侧 p=0.184100808663348。

参数顺序必须先 n（试验数）后 k（成功数）——统计量输出 0.55 = 55/100 印证了这一契约。传反时实测直接抛异常（真实回显）：

Exception in thread "main" org.apache.commons.statistics.inference.InferenceException: must have n >= k for binomial coefficient (n, k), got n = 100, k = 55

调用的是 test(55, 100, 0.5)（把成功数放在了第一位），库按「先 n 后 k」解析后检测出 n < k 而拒绝执行。注意报错信息中打印的 n/k 数值与实参书写顺序正好相反，调试时以「先 n 后 k」的参数契约为准，不要按报错字面去改。

💡 技术拓展：与 TTest 不同，BinomialTest 是精确检验（基于二项分布精确计算，非正态近似），小样本下比正态近似更准；AlternativeHypothesis 同样适用于单侧场景（如「新版转化率是否高于旧版」）。 本文所用：双侧默认 + GREATER_THAN 单侧对照。

4.6 GTest：似然比检验

G 检验（对数似然比检验）与卡方拟合优度互为替代，统计量 G = 2ΣO·ln(O/E)。实测（对应主类 [7] 节）：与 4.4 节完全相同的数据，G 统计量 1.345992511039241、p 值 0.510177662787492、不拒绝——与卡方的 p=0.5057733339556132 高度接近（两者渐近等价，大样本下趋同）。生物统计等领域偏好 G 检验的乘性可分解性。

要点提示：G 检验要求所有期望频数为正（对数为零无定义）；同一数据两个检验 p 值接近属正常现象，结论冲突时优先检查期望频数是否过小（惯例要求期望 ≥ 5）。

五、置信区间示例详解

5.1 二项比例的五种区间方法

interval 模块的 BinomialConfidenceInterval 枚举提供五种区间方法，统一入口 fromErrorRate(int n, int k, double alpha)（注意参数顺序也是先 n 后 k，alpha 是错误率，95% 置信即 alpha=0.05）。实测 n=100、k=55、alpha=0.05（对应主类 [1] 节输出）：

方法区间（实测）特点
NORMAL_APPROXIMATION[0.452493, 0.647507]正态近似，最简单，小样本/n·p 过小时偏窄失真
WILSON_SCORE[0.452446, 0.643855]Wilson 得分区间，覆盖率稳定，推荐默认
JEFFREYS[0.452229, 0.644923]贝叶斯 Jeffreys 先验（Beta(0.5, 0.5)）
CLOPPER_PEARSON[0.447280, 0.649680]精确区间，最保守（最宽），保证覆盖率
AGRESTI_COULL[0.452429, 0.643872]Agresti-Coull 加 2 成功 2 失败的修正近似

实测五种方法的区间都包含真实比例 0.55，宽度排序为 CLOPPER_PEARSON 最宽（0.2024）、其余四种接近（约 0.1914 至 0.1950）——精确法以宽度换覆盖率。

💡 技术拓展：二项区间的选型逻辑——

场景建议
通用报告/AB 实验面板WILSON_SCORE（窄且覆盖率稳定，小比例事件尤其明显）
监管/论文要求「精确方法」CLOPPER_PEARSON
与教材/既有报表对齐NORMAL_APPROXIMATION（注意 n·k 与 n·(n−k) 均 ≥ 5 才可靠）
贝叶斯工作流衔接JEFFREYS

本文所用：五种方法全量实测对齐，生产默认 WILSON_SCORE。

5.2 正态均值/方差区间与「第 2 参数是方差」的实测验证

NormalConfidenceInterval 枚举提供 MEAN 与 VARIANCE 两个区间，入口 fromErrorRate(double mean, double variance, long size, double alpha)。实测（对应主类 [2] 节）：均值 7.0、方差 11.555555555555555（即 2.2 节数据的样本方差）、n=10、alpha=0.05，MEAN 区间 [4.568254, 9.431746]、VARIANCE 区间 [5.467133, 38.512963]。

两个验证点：其一，MEAN 区间半宽 = t(0.975, df=9) × √(方差/n) = 2.2622 × 1.07497 = 2.4318，7.0 ± 2.4318 = [4.5682, 9.4318]，与实测 [4.568254, 9.431746] 一致，证明小样本下库使用 t 分布而非 z 分布；其二，第二个参数是方差而非标准差——实测曾误传标准差 3.39934634239519，得到的 VARIANCE 区间 [1.608289, 11.329520] 恰是以 3.39934634239519 为方差的卡方向（9 × 3.3993/χ²₀.₉₇₅,₉ 到 9 × 3.3993/χ²₀.₀₂₅,₉），据此反推确认参数语义为方差。使用时务必传入 Variance.getAsDouble() 的结果（无偏样本方差）。

要点提示：区间与检验是一体两面——4.1 节 mu=5 的 t 检验不拒绝（p=0.0957），对应本节 MEAN 区间 [4.568, 9.432] 恰好包含 5，两个结论自洽。

六、最佳实践

本节汇总本次实测验证过的工程实践，按落地优先级排列。

6.1 storeless 流式统计 vs 全量数组统计

维度流式（create + accept）全量（of / evaluate）
内存O(1)，只存矩状态O(n)，需持有完整数组
时效数据到达即可计算，随时取中间结果数据齐后才能算
精度增量算法（ compensated 补偿求和），长序列更稳一次性求和，超大数组易丢精度
分片合并combine 原生支持不支持
适用消息流、监控埋点、ETL离线批、一次性分析

实测两种路径对同一 20 数据的均值/方差输出逐位一致（姊妹篇 4.5 节），精度无差异，选择依据是数据到达方式与内存约束。流式场景优先选流式——它在内存与实时性上的优势是结构性的。

6.2 分片并行统计用 combine 汇总

多线程/多分片场景下，每个分片各自维护累积器，最后 combine 汇总（姊妹篇 4.5 节实测：拆成前后各 10 个再合并，均值与方差与全量计算逐位一致）。要点：各分片必须用同一口径（如全部无偏方差）；DoubleStatistics 可用 EnumSet.allOf(Statistic.class) 一次开启全部统计量后合并，一次拿到全套指标。

6.3 检验选型与 p 值解读

  • 数据形态决定检验入口：配对设计用 pairedTest，独立组用 test(a, b)，比例/频数用 BinomialTest 或 ChiSquareTest（4.3 节实测了误用代价：检验力下降）。
  • 单侧检验要显式 with(AlternativeHypothesis.GREATER_THAN)，默认双侧（4.2 节实测单侧 p 恰为双侧一半）。
  • reject(0.05) 返回 boolean 与「p < 0.05」等价，建议直接用它表达决策，避免手写比较引入反向错误。
  • p 值不是效应大小：4.4 节 p=0.506 只说明「与期望无显著偏离」，不代表观测与期望完全一致。

6.4 API 契约自查：先用 javap 再编码

本次实测抓到的两个参数顺序坑（BinomialTest 的 n/k、NormalConfidenceInterval 的方差）都源于「想当然的参数顺序」。推荐工作流：引入新类后先 javap -cp <jar> <全限定类名> 查看真实方法签名，再用小数据（能手算核对）跑通后集成进业务。所有检验类遵循同一结果契约（SignificanceResult：getStatistic/getPValue/reject），掌握一个即掌握全部。

6.5 浮点输出与容差比较

所有统计量与 p 值都是 double 全精度输出（如 0.368201617326696、2.579556955451804E-6），落库/上报前不要在计算层截断；跨系统对数（如与 R、SciPy 比对）用相对容差（如 1e-9）而非字符串全等。检验统计量的自由度是 double（Welch 检验可为非整数），格式化时按需保留。

七、常见问题（FAQ）

Q1：reject(0.05) 与「p 值小于 0.05」一定等价吗？ 等价。reject 的实现就是 p < alpha 的严格比较（4.2 节实测单侧 p=0.3153 与 reject=false 的对应关系一致）。它存在的意义是表达决策语义，避免使用者在比较方向上犯错。

Q2：BinomialTest 报 must have n >= k 但我的 n 明明大于 k？ 参数顺序传反了。正确契约是 test(int n, int k, double p)——先试验数后成功数（4.5 节实测 statistic=0.55=55/100 印证）。注意报错信息打印的 n/k 数值与实参书写顺序相反，按契约修正实参顺序即可。

Q3：正态置信区间的第二个参数为什么算出来不对？ 那是方差不是标准差（5.2 节实测反推验证）。传入 Variance 统计量的无偏结果；若手头只有标准差，先平方再传入。

Q4：卡方检验要求期望频数至少多大？ 惯例是每格期望 ≥ 5（4.4 节期望 50/30/20 均满足）。不满足时合并相邻类别，或改用 Fisher 精确检验类思路（inference 1.3 提供 FisherExactTest 用于列联表精确检验）。

Q5：双样本 t 检验的 df 为什么不是 n1+n2−2？ 默认 HETEROSCEDASTIC（Welch）用 Satterthwaite 近似，df 一般是非整数；本例两组方差相等才恰好等于 8.0（4.2 节实测）。方差齐性明确时用 with(DataDispersion.HOMOSCEDASTIC) 回到经典 pooled 的 df=n1+n2−2。

Q6：检验类是线程安全的吗？可以复用同一个 TTest 实例吗？ TTest.withDefaults() 返回的配置对象建议按「一次配置 + 一次 test」使用，跨线程共享配置对象前自行保证可见性；统计累积器（descriptive 模块）本身可变，多线程分片累积后用 combine 合并（6.2 节），不要多线程并发 accept 同一实例。

八、参考链接

  1. Commons Statistics inference 模块用户指南：https://commons.apache.org/proper/commons-statistics/
  2. Commons Statistics interval 模块（1.2 新增）：https://commons.apache.org/proper/commons-statistics/
  3. Maven 中央仓库 inference 1.3：https://repo1.maven.org/maven2/org/apache/commons/commons-statistics-inference/
  4. Maven 中央仓库 interval 1.3：https://repo1.maven.org/maven2/org/apache/commons/commons-statistics-interval/
  5. 描述统计与排名姊妹篇：《Apache Commons Statistics 1.3 常用 API 与统计工具详解》